terça-feira, 30 de abril de 2013

PARABÉNS, CARL GAUSS

Estou a ler o livro "O Último Teorema de Fermat".
Ontem, já passava da meia noite, li uma passagem que referia que Carl Gauss nasceu a 30 de abril de 1777, e eu pensei "Eh, pá! É hoje! Tenho de fazer um post amanhã sobre ele.".
Gauss era neto de um camponês muito pobre e filho de um operário, que era muito severo com ele. Teve o apoio da mãe e de um tio, de forma a prosseguir a sua educação. Não foi só um génio matemático. Era também brilhante em Línguas e Astronomia, por exemplo. Se fosse vivo, faria hoje 236 anos.

Uma prova da precocidade da sua genialidade foi algo que aconteceu ainda ele andava na escola, no auge dos seus 10 anos de idade, onde Gauss, apesar de ser extremamente inteligente, não primava pelo bom comportamento.

A professora deu-lhe um castigo, que consistia em manter Carl Gauss na sala a calcular a soma de todos os números de 1 a 100, e só depois poder juntar-se aos colegas no recreio. Dois minutos depois já ele estava fora da sala. A professora ameaçou-o com um castigo pior, mas ele insistiu que tinha já feito o que lhe tinha sido ordenado. Entregou, então,  à professora um pedaço de papel que tinha o número 5050.
Qual foi o método usado pelo jovem Carl?

Escreveu 2 linhas de 101 números:
   0    1    2    3  ...   97    98    99    100
100  99  98  97  ...    3      2      1     0

Posto isto, percebeu que todas as 101 colunas tinham como soma o valor 100.
Logo, a soma de todas as colunas seria 101 x 100 = 10100.
Depois, concluiu que qualquer das linhas tinha a soma que ele pretendia, ou seja, a soma dos números de 1 a 100. Como só queria saber a soma de uma linha, o resultado seria a metade de 10100, ou seja, 5050.
Conclusão: a professora deixou de o castigar com problemas matemáticos...

Coloquei este exemplo só para provar que as mentes brilhantes não têm idade.

Parabéns, Carl Friedrich Gauss. E obrigado por tudo.

quarta-feira, 24 de abril de 2013

PERSEIDAS - Vídeo

Fantástica, a visão que uma câmara nos pode oferecer quando apontada para o Céu noturno, especialmente numa noite com queda de meteoros. A sensação de ver o Universo rodar sobre nós é absolutamente esmagadora.
Estas imagens são relativas às Perseidas de 2009 e merecem ser partilhadas.
Os créditos deste trabalho encontram-se no fim do vídeo.
video

quinta-feira, 4 de abril de 2013

METEORITO vs. ASTEROIDE - A Lei de Titius-Bode

Não há muito mais para "comparar" entre meteoritos e asteroides.
Penso que vou terminar hoje esta sequência de posts sobre este tema.
Mas antes disso, vou ainda fazer um pequeno post sobre a descoberta da Cintura de Asteroides que mencionei no post anterior (ver Meteorito vs. Asteroide - Onde estão os asteroides?).

A descoberta da Cintura de Asteroides deve-se muito à descoberta de Ceres, o maior asteroide de todos e também o primeiro a ser observado.

Na altura em que foi descoberto (por Giuseppe Piazzi, a 1 de janeiro de 1801), Ceres foi classificado como um planeta mas, tal como Plutão, desceu de categoria entretanto, devido a outras descobertas que os colocam noutro patamar.


Em cima, à esquerda, vemos Johann Titius, e à direita, Johann Bode, os percursores da descoberta.

Vamos então ao assunto do post, a Lei de Titius-Bode. O que diz?
Diz que os corpos que estejam num mesmo sistema orbital, orbitam a distâncias (semieixo maior) "definidas" de acordo com as suas posições.
Com números e um pouco de matemática é mais fácil explicar:
  • Sendo a o semieixo maior de cada planeta;
  • Considerando o semieixo maior da Terra (a_Terra) = 10;
  • Então a = 4 + n, em que n = 0, 3, 6, 12, 24, 48, ...
  • Os valores de n são o dobro do anterior para n > 3;
  • Se dividirmos os valores daqui resultantes por 10, convertemo-los em Unidades Astronómicas (UA);
  • A expressão resultante é: a = 0.4 + 0.3x2^m, para m = -inf, 0, 1, 2, ...
  • Isto diz-nos que os planetas exteriores estarão ao dobro da distância do seu companheiro imediatamente interior.
Ok, isto é muito bonito, mas e valores na prática?
Vamos ver o caso do Sistema Solar.
Poderia especificar os cálculos de a, n e de outros dados intermédios do algoritmo que mostrei em cima, mas não vou por aí. Vou pelos resultados que interessam.
A tabela seguinte compara a distância calculada pela Lei de Titius-Bode com a real, bem como o erro de cálculo.
O gráfico que publico de seguida é o resultado da tabela de cima:

A precisão é extremamente elevada, ainda que Neptuno seja uma exceção (erro elevado), uma das exceções pela qual esta lei não é dada como um facto comprovado.

No entanto, o que quero aqui ressalvar é que os cálculos efetuados para os planetas conhecidos em meados do século XVIII (Mercúrio, Vénus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno) batiam todos certos. E por esses mesmos cálculos, havia algo a faltar à volta das 2.8 UA.
A descoberta de Urano em 1781 perto de onde seria previsível pela Lei de Titius-Bode veio acentuar a fé na validade desta lei e as buscas pelo elemento que faltava aumentaram.

Finalmente, encontrou-se Ceres e desde aí uma infinidade de outros pequenos asteroides surgiram na mira dos telescópios dos astrónomos. Foi descoberta a Cintura de Asteroides.

Ainda que mais tarde a descoberta de Neptuno tenha feito recuar os crentes nesta lei, o certo é que ela parece ser válida para planetas "mais interiores". Ainda assim, mesmo que não seja um dado comprovado, ao menos a sua existência já serviu para descobrir uma das maravilhas do Sistema Solar.

Espero, com estes posts, ter contribuído um pouco para a compreensão dos meteoritos e dos asteroides, daquilo que os une e do que os separa.